Розділ 5 Дослідження функцій за допомогою похідної
1. Зростання і спадання функцій
Нагадаємо, що функція називається зростаючою (спадною) на інтервалі , якщо для довільних , якщо виконується нерівність .
Теорема 1.1. (достатня умова монотонності). Припустимо, що функція диферен ційована на . Якщо для всіх , то – зростаюча на ; якщо для всіх , то – спадна на.
Зауваження. Якщо на , то стала на . . Геометрична інтерпретація умови монотонності функції наведена на рис. 1.
а б Рис. 1. Зростаюча (а) та спадна функція (б) Якщо дотичні до кривої на деякому проміжку спрямовані під гострими кутами до осі абсцис (рис. 1, а), то функція зростає, якщо під тупими (рис. 1, б), то спадає.
Приклад 1.1. Знайти інтервали монотонності функцій: а) ; б) . á а) Областю визначення цієї функції є множина Знаходимо похідну функції: . Очевидно, що , якщо та і якщо , тобто функція зростає на інтервалах і та спадає на інтервалі (1;3) (рис. 2.)
Рис. 2. Інтервали монотонності функції
б) Функція визначена на множині Визначаємо похідну: . Розв’язуючи нерівності і методом інтервалів, отримаємо, що ця функція зростає, якщо і спадає, якщо (рис. 3).
Рис. 3. Інтервали монотонності функції
2. Екстремум функції
Означення 2.1. Точка називається точкою максимуму функції , якщо в деякому околі точки виконується нерівність (рис. 4).
Означення 2.2. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо в деякому околі точки справджується нерівність (рис. 4). Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції, а значення функції у точках і – відповідно максимумом і мінімумом функції. Максимум і мінімум функції об’єднуються під загальною назвою екстремуму функції, який часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи, що поняття екстремуму пов’язане з достатньо малим околом точки екстремуму. Це означає на одному проміжку функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму.
Рис. 4. Екстремуми функції
Теорема 2.1. (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точці екстремум, то її похідна в цій точці дорівнює нулеві або не існує
Іншими словами, функція може мати екстремум тільки у тих точках, в яких похідна дорівнює нулеві або не існує. Точки, в яких похідна функції дорівнює нулеві або не існує, називаються критичними (або стаціонарними) точками. Звертаємо увагу на те, що ці точки повинні входити в область визначення функції. Однак легко переконатись, що критична точка зовсім не обов’язково є точкою екстремуму. Наприклад, функція зростає на усій числовій осі (див. додаток). Похідна в точці дорівнює нулеві, тобто , але екстремуму в цій точці немає. Отже, щоб знайти екстремуми функції, потрібно додатково досліджувати критичні точки. Іншими словами, необхідно визначити достатню умову екстремуму. Теорема 2.2. (перша достатня умова екстремуму). Якщо, переходячи через точку , похідна диференційованої функції змінює знак з плюса на мінус, то точка є точкою максимуму функції , а якщо з мінуса на плюс, то – точка мінімуму.
Схема дослідження функції на екстремум. 1. Знайти область визначення функції . 2. Обчислити похідну . 3. Визначити критичні точки функції, тобто точки, в яких або не існує. 4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції. 5. Знайти екстремуми функції, обчисливши значення функції в точках екстремуму.
Приклад 2.1. Дослідити на екстремум функцію . á 1. Область визначення цієї функції . 2.Обчислюємо похідну функції . 3. Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки функції: . Зауважимо, що в точці похідна не існує, але ця точка не є критичною, оскільки вона не входить в область визначення функції. 4. На числову вісь наносимо область визначення функції і критичні точки (рис.5).
Рис. 5. Інтервали монотонності
Щоб встановити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки ...
